Digitální filtry

Kapitola5

Číslicové filtry FIR

Zkratka FIR (Finite Impulse Response) označuje digitální filtry s konečnou impulsní odezvou. V kapitole 3.3 byla uvedena obecná přenosová funkce

H (z)

v komplexní proměnné

z

, kterou zapíšeme ve tvaru:

H (z) = \frac{B (z)}{A (z)} = \frac{b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + a_{M} z^{- M}}{1 + a_{1} z^{- 1} + a_{2} z^{- 2} + \dots + a_{N} z^{- N}}

, (15)

kde

B (z)

je polynom čitatele a

A (z)

je polynom jmenovatele. Uvedená přenosová funkce popisuje obecný filtr IIR (Infinite Impulse Response). Jestliže do rovnice (15) dosadíme

z = e^{j ω T}

, získáme přenosovou funkci

H (j ω T)

, která představuje komplexní frekvenční charakteristiky diskrétního systému. Nejdůležitějšími frekvenčními charakteristikami systému jsou:

modulová, která je definována vztahem $M = [a b s H (j ω T)]$ ,

fázová, která je definována vztahem $φ = a r c t g \frac{I m [H (j ω T)]}{R e [H (j ω T)]}$ .

Definice

Přenosová funkce filtru

H (z)

FIR vychází z rovnice (15) a je dána jen jejím čitatelem:

H (z) = B (z) = b_{0} + b_{1} z^{- 1} + b_{2} z^{- 2} + \dots + b_{N} z^{- N} = \sum_{k = 0}^{N} b_{k} z^{- k}

, (16)

kde

N

je řád filtru a

N + 1

je délka filtru neboli počet koeficientů filtru. Koeficienty filtru

b_{0}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{N}

jsou totožné s koeficienty impulsní odezvy

h_{0}, h_{1}, h_{2}, \dots, h_{N}

. K rovnici (10) použitím věty o posunutí z tabulky 2 získáme tzv. diferenční rovnici pro výstup

y (n)

y (n) = h_{0} + h_{1} x (n - 1) + h_{2} x (n - 2) + \dots + h_{N} x (n - N)

Z diferenční rovnice plyne, že výstup filtru

y (n)

je dán konvolucí vzorků impulsní odezvy

h (n)

a vstupů

x (n)

y (n) = \sum_{k = 0}^{N} h_{k} x (n - k)

Pro filtry FIR je typické, že nemají ekvivalent v analogových filtrech na rozdíl od filtrů IIR (jak uvidíme dále). Přestože jsou filtry FIR produktem číslicového zpracování signálů, mají řadu užitečných vlastností. K těm základním patří, že:

mají lineární fázi v celém frekvenčním rozsahu,

jsou vždy stabilní,

jejich implementace je jednoduchá.