Komplexní čísla v elektrotechnice

1.5

Umocňování komplexních čísel

Ze vzorců pro násobení a dělení komplexních čísel v exponenciálním tvaru ihned plyne Moivreova věta.

Definice

Pro každé

φ

z množiny reálných čísel

φ \in R

a pro každé

n

z množiny celých čísel

n \in Z

definujeme Moivreovu větu v goniometrickém tvaru

{(\cos φ + j \sin φ)}^{n} = \cos n φ + j \sin n φ

a v exponenciálním tvaru

{(e^{j φ})}^{n} = e^{j φ n}

Nyní provedeme dva příklady na aplikaci Moivreovy věty:

Příklad

Vypočtěte mocninu komplexního čísla

{(1 - j)}^{8}

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Číslo

1 - j

převedeme na exponenciální tvar. Nejprve vypočteme modul:

|1 - j| = \sqrt{1 + 1}

\sqrt{2}

Funkce kosinu a sinu budou mít tvar:

\cos φ = \frac{1}{\sqrt{2}}

\sin \frac{- 1}{\sqrt{2}}

Z uvedených vztahů vyplývá, že úhel

φ

mezi modulem a reálnou osou je

φ = \frac{- π}{4}

. Exponenciální tvar komplexního čísla je:

1 - j = \sqrt{2} e^{- j \frac{π}{4}}

, potom použitím Moivreovy věty určíme mocninu

{(1 - j)}^{8} = {(\sqrt{2} e^{- j \frac{π}{4}})}^{8} = {(\sqrt{2})}^{8} e^{- j \frac{8 π}{4}} = 64 e^{- j 2 π} = 64

Uvedeme ještě jeden příklad na použití Moivreovy věty.

Příklad

Vypočítejte mocninu komplexního čísla

z^{6}

, kde

z = 2 (\cos \frac{π}{4} - j \sin \frac{π}{4})

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Z rovnice

z = 2 (\cos \frac{π}{4} - j \sin \frac{π}{4})

přejdeme k exponenciálnímu tvaru

z = e^{\frac{- j π}{4}}

, pak mocnina podle Moivreovy věty je

z^{6} = {(2 \cdot \cos \frac{π}{4} - j \sin \frac{π}{4})}^{6} = 2^{6} e^{\frac{- j \cdot 6 π}{4}} = 64 [\cos (- \frac{3}{2} π) + j \sin (- \frac{3}{2} π)] = 64 j

Souhrn

V úvodní kapitole byly prezentovány základy operací s komplexními čísly. Byly uvedeny základní formáty komplexních čísel součtový (algebraický), goniometrický a exponenciální. V uvedených reprezentacích byly definovány základní operace na součet, rozdíl, součin a podíl. Byla provedena řada ilustrativních řešených příkladů. Následující část textu bude věnována řešení elektrických obvodů pomocí tzv. symbolicko-komplexní metody.