Elektrotechnika III

3.1

Kondenzátor v obvodu stejnosměrného proudu

3.1.1

Teoretický úvod

Základní vlastnosti obvodových veličin:

Základními obvodovými veličinami je napětí U[V] a proud I[A].

Napětí a proudy jsou konstantní v čase (mají jednu definovanou hodnotu).

Napětí se může v obvodech skokově měnit → přechodné děje v obvodu.

Elektrický proud protéká pouze v uzavřeném elektrickém obvodu.

Základní vlastnosti kondenzátoru:

Kondenzátor je akumulační prvek.

Může být zapojen do obvodu se zdroji napětí i proudu.

Rezistory, kondenzátory a cívky mají v obvodech s působením stejnosměrného proudu jiné charakteristické vlastnosti než v obvodech s působením střídavého proudu.

Základní definiční vztahy:

Kapacita kondenzátoru (obecný vztah, bez jednotek):

C = E_{0} \cdot E_{r} \cdot \frac{S}{l}

Vztah mezi kapacitou kondenzátoru C, nábojem Q a napětím U_C:

C = \frac{Q}{U_{c}} [F; C, V]

Výsledná hodnota sériového zapojení kondenzátorů C₁, C₂:

\frac{1}{C_{A B}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} = \frac{C_{2} + C_{1}}{C_{1} \cdot C_{2}}

C_{A B} = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}

Paralelní zapojení N kondenzátorů:

C_AB = C₁+C₂+C₃+…+C_N [ F; F, F, …, F].

3.1.2

Výpočet kapacity kondenzátoru

Příklad

[Příklad č. 56] Vypočítejte kapacitu C deskového kondenzátoru s následujícími parametry. Vzdálenost desek 0,1 mm, materiálem dielektrika je kondenzátorový papír. Desky jsou obdélníkového průřezu s rozměry a = 4,5 mm, b = 8,2 mm.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Materiál dielektrika (kondenzátorový papír) se vyznačuje poměrnou permitivitou ℇ_r = 3. Výpočet hodnoty kapacity vychází z obecné definice:

C = E_{0} \cdot E_{r} \cdot \frac{S}{l} = 8,854 \cdot 10^{- 12} \cdot 3 \cdot \frac{S}{0,1 \cdot 10^{- 3}}

Plocha desek S je plochou povrchu vodivé desky kondenzátoru:

S = a \cdot b = 4,5 \cdot 8,2 = 36,9 m m^{2} = 36,9 \cdot 10^{- 6} m^{2}

Kapacita kondenzátoru:

C = E_{0} \cdot E_{r} \cdot \frac{S}{l} = 8,854 \cdot 10^{- 12} \cdot 3 \cdot \frac{36,9 \cdot 10^{- 6}}{0,1 \cdot 10^{- 3}} = 9,8 p F

Kapacita kondenzátoru je 9,8 pF.

Příklad

[Příklad č. 57] U kondenzátoru z předchozího příkladu vypočítejte plochu desek, aby hodnota výsledné kapacity kondenzátoru byla C = 35 pF.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Ze základního definičního vztahu pro výpočet kapacity vyjádříme parametr plochy desek.

C = E_{0} \cdot E_{r} \cdot \frac{S}{l} \to S = n u t n é v y j á d ř i t z e v z o r c e

S = \frac{C \cdot l}{E_{0} \cdot E_{r}} = \frac{35 \cdot 10^{- 12} \cdot 0,1 \cdot 10^{- 3}}{8,854 \cdot 10^{- 12} \cdot 3} = \frac{3,5 \cdot 10^{- 15}}{2,656 \cdot 10^{- 11}} = 131,78 \cdot 10^{- 6} m^{2}

Plocha desek kondenzátoru musí mít hodnotu

S = 131,78 m m^{2} .

Příklad

[Příklad č. 58] Vypočítejte výslednou kapacitu kondenzátoru, který je realizován z desky plošného spoje. Parametry desky jsou následující:

E_{r} = 2,2

, vzdálenost desek 0,6 mm, rozměry vodivé desky

a = 5,5 m m, b = 10,5 m m

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Plocha desek:

S = a \cdot b = 5,5 \cdot 10,5 = 57,75 m m^{2} = 55,75 \cdot 10^{- 6} m^{2}

C = E_{0} \cdot E_{r} \cdot \frac{S}{l} = 8,854 \cdot 10^{- 12} \cdot 2,2 \cdot \frac{55,75 \cdot 10^{- 6}}{0,6 \cdot 10^{- 3}} = 1,81 \cdot 10^{- 12} = 1,81 p F .

Kondenzátor bude mít kapacitu

C = 1,81 p F

3.1.3

Výpočet výsledné kapacity kondenzátorů v obvodu

Kondenzátory jsou v aplikacích zapojovány do série (za sebou), paralelně (vedle sebe) nebo v sérioparalelních kombinacích. Výpočet výsledné kapacity kondenzátorů mezi dvěma body v obvodu je častou problematikou, kterou je potřeba při řešení obvodů vyřešit.

Obr. 34. [Příklad č. 59] Výpočet výsledné kapacity

Příklad

[Příklad č. 59] V obvodu jsou zapojeny čtyři kondenzátory s hodnotami kapacit C₁ = 10 nF, C₂ = 50 nF, C₃ = 100 nF, C₄ = 100 nF. Slovně popište zapojení kondenzátorů v obvodu a vypočítejte hodnotu výsledné kapacity C_AB.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Slovní popis obvodu:

mezi svorkami A-B v obvodu se nachází čtyři kondenzátory,

kondenzátor C₁ je zapojen paralelně ke kondenzátoru C₂ (výsledná hodnota C₁₂),

kondenzátory C₃ a C₄ jsou zapojeny do série (výsledná hodnota C₃₄),

výsledná hodnota kapacity C_AB je definována jako hodnota C₁₂ a v paralelním zapojení hodnota kapacity C₃₄.

Výpočet výsledné kapacity C_AB:

C_{12} = C_{1} + C_{2} = 10 n F + 50 n F = 60 n F

C_{34} = \frac{C_{3} \cdot C_{4}}{C_{3} + C_{4}} = \frac{100 \cdot 10^{- 9} \cdot 100 \cdot 10^{- 9}}{100 \cdot 10^{- 9} + 100 \cdot 10^{- 9}} = \frac{1 \cdot 10^{- 14}}{200 \cdot 10^{- 9}} = \frac{1 \cdot 10^{- 5}}{200} = 50 n F,

{C_{A B} = C}_{1234} = C_{12} ‖ C_{34} = C_{12} + C_{34} = 60 n F + 50 n F = 110 n F .

Výsledný kapacita C_AB v obvodu má hodnotu 110 nF.

Obr. 35. [Příklad č. 60] Výpočet výsledné kapacity

Příklad

[Příklad č. 60] V obvodu jsou zapojeny čtyři kondenzátory s hodnotami kapacity C₁ = 10 nF, C₂ = 50 nF, C₃ = 100 nF, C₄ = 150 nF. Vypočítejte hodnotu výsledné kapacity C_AB.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Při výpočtu využijeme metodu postupného zjednodušování, kdy dva a více kondenzátorů nahrazujeme kondenzátorem jedním. (Využíváme výpočetních vztahů pro sériové a paralelní zapojení kondenzátorů.) Kondenzátor C₁₄ je ekvivalentem sériového zapojení C₁ a C₄, kondenzátor C₂₃ je ekvivalentem paralelního zapojení C₂ a C₃.

C_{23} = C_{2} + C_{3} = 50 n F + 100 n F = 150 n F .

C_{14} = \frac{C_{1} \cdot C_{4}}{C_{1} + C_{4}} = \frac{10 n F \cdot 150 n F}{10 n F + 150 n F Ω} = \frac{1 500 n F}{160 n F} = 9,375 n F .

Pro další výpočty zaokrouhlíme vypočítanou hodnotu C₁₄ na hodnotu 9,4 nF. Kondenzátory C₁₄ a C₂₃ jsou zapojeny do série, pro výslednou hodnotu kapacity C₁₂₃₄ platí:

C_{1234} = \frac{C_{14} \cdot C_{23}}{C_{14} + C_{23}} = \frac{9,4 \cdot 10^{- 9} \cdot 150 \cdot 10^{- 9}}{9,4 \cdot 10^{- 9} + 150 \cdot 10^{- 9}} = \frac{1 410 \cdot 10^{- 9}}{159,4 \cdot 10^{- 9}} = 8,8456 \cdot 10^{- 9} F

Vypočítanou hodnotu

C_{1234}

zaokrouhlíme na hodnotu:

C_{1234} = 8,85 \cdot 10^{- 9} F = 8,85 n F

Výsledná kapacita v obvodu

{C_{A B} = C}_{1234} = 8,85 n F

Obr. 36. [Příklad č. 61] Návrh obvodu s kondenzátory

Příklad

[Příklad č. 61] V obvodu jsou zapojeny tři kondenzátory s hodnotami kapacity C₁ = 100nF, C₂ = 100 nF. Vypočítejte potřebnou hodnotu kondenzátoru C₃, aby výsledná hodnota kapacity obvodu C_AB byla 75 nF.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Kapacita obvodu mezi svorkami A-B je dána vztahem:

{O b e c n ě : C}_{A B} = C_{1} a v s é r i i z a p o j e n y C_{2}, C_{3} (p a r a l e l n ě)

C_{A B} = \frac{C_{1} \cdot (C_{2} + C_{3})}{C_{1} + C_{2} + C_{3}}

Pro stanovení hodnoty kondenzátoru C₃ upravíme předchozí vztah:

C_{A B} \cdot (C_{1} + C_{2} + C_{3}) = C_{1} \cdot (C_{2} + C_{3})

C_{A B} \cdot C_{1} + C_{A B} \cdot C_{2} + C_{A B} \cdot C_{3} = C_{1} \cdot C_{2} + C_{1} \cdot C_{3} .

Všechny výrazy z C₃ přesuneme na levou stranu rovnice:

C_{A B} \cdot C_{3} - C_{1} \cdot C_{3} = C_{1} \cdot C_{2} - C_{A B} \cdot C_{1} - C_{A B} \cdot C_{2}

Výsledný tvar pro výpočet C₃ má podobu:

C_{3} = \frac{C_{1} \cdot C_{2} - C_{A B} \cdot C_{1} - C_{A B} \cdot C_{2}}{C_{A B} - C_{1}}

C_{3} = \frac{100 n F \cdot 100 n F - 75 n F \cdot 100 n F - 75 n F \cdot 100 n F}{75 n F - 100 n F} = \frac{10 000 n F - 7 500 n F - 7 500 n F}{- 25 n F} = \frac{- 5 000 n F}{- 25 n F} = 200 n F

[Výsledek: Aby

C_{A B} = 75 n F

, musí mít kondenzátor C₃ hodnotu 200 nF.]

Obr. 37. [Příklad č. 62] Návrh obvodu s kondenzátory

Příklad

[Příklad č. 62] V obvodu jsou zapojeny čtyři kondenzátory s hodnotami kapacity C₁ = 220 nF, C₂ = 220 nF a C₃ = 100 nF. Vypočítejte potřebnou hodnotu kondenzátoru C₄, aby výsledná hodnota kapacity obvodu C_AB měla hodnotu 160 nF.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Vypočítejte samostatně:

……………………………………………………………………………

[Výsledek: Aby

C_{A B} = 160 n F

, musí mít kondenzátor C₄ hodnotu 100 nF.]

3.1.4

Výpočet náboje a napětí na kondenzátoru

Základní vlastností kondenzátorů je schopnost ukládat náboje (při nabíjení) a odvádět náboj (při vybíjení) z vodivých desek. Při ukládání nebo odvádění náboje se mění napětí na deskách kondenzátoru. Vztah mezi nábojem kondenzátoru Q, napětím kondenzátoru U a kapacitou C udává vztah:

C = \frac{Q}{U} [F; C, V] .

Obr. 38. [Příklad č. 63] Náboj a napětí kondenzátorů (paralelní zapojení)

Příklad

[Příklad č. 63] V obvodu s kondenzátory C₁ = 5 µF, C₂ = 10 µF, C₃ = 50 µF vypočítejte velikost uloženého náboje na jednotlivých kondenzátorech. Slovně popište vlastnosti obvodových veličin a obvodových prvků v obvodu. Hodnota napětí zdroje U_Z = 8 V. Jaký celkový náboj byl odebrán ze zdroje U_Z?

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Slovní popis obvodu:

kondenzátory C₁, C₂ a C₃ jsou mezi sebou zapojeny paralelně,

zdroj napětí U_Z je připojen ke kondenzátorům paralelně,

napětí na všech kondenzátorech má hodnotu U_Z,

velikost uloženého náboje bude na jednotlivých kondenzátorech rozdílná.

Výpočty:

Výpočet velikosti náboje na jednotlivých kondenzátorech určíme ze vztahu:

C = \frac{Q}{U} \to \to Q = C \cdot U .

Pro napětí v obvodu platí:

U_{Z} = U_{C 1} = U_{C 2} = U_{C 3}

Výše uvedenou rovnost můžeme rozepsat:

\frac{Q_{C}}{C_{V}} = \frac{Q_{C 1}}{C_{1}} = \frac{Q_{C 2}}{C_{2}} = \frac{Q_{C 3}}{C_{3}}

Na kondenzátoru C₁ bude uložený náboj Q_C1:

Q_{C 1} = C_{1} \cdot U_{C 1} = 5 \cdot 10^{- 6} \cdot 8 = 40 \cdot 10^{- 6} C = 40 µ C

Na kondenzátoru C₂ bude uložený náboj Q_C2:

Q_{C 2} = C_{2} \cdot U_{C 2} = 10 \cdot 10^{- 6} \cdot 8 = 80 \cdot 10^{- 6} C = 80 µ C

Na kondenzátoru C₃ bude uložený náboj Q_C3:

Q_{C 3} = C_{3} \cdot U_{C 3} = 50 \cdot 10^{- 6} \cdot 8 = 400 \cdot 10^{- 6} C = 400 µ C

Ze zdroje napětí byl odebrán náboj, který je roven součtu dílčích nábojů uložených v jednotlivých kondenzátorech.

Q_{C} = Q_{C 1} + Q_{C 2} + Q_{C 3} = 40 + 80 + 400 = 520 \cdot 10^{- 6} C = 520 µ C

Největší náboj je uložen na kondenzátoru s největší kapacitou.

Obr. 39. [Příklad č. 64] Náboj a napětí kondenzátorů (sériové zapojení)

Příklad

[Příklad č. 64] V obvodu s kondenzátory C₁ = 5 µF, C₂ = 10 µF, C₃ = 50 µF vypočítejte velikost uloženého náboje na jednotlivých kondenzátorech. Slovně popište vlastnosti obvodových veličin a obvodových prvků v obvodu. Hodnota napětí zdroje U_Z = 8 V. Vypočítejte hodnotu napětí na jednotlivých kondenzátorech v obvodu a překontrolujte platnost druhého Kirchhoffova zákona.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Slovní popis obvodu:

kondenzátory C₁, C₂ a C₃ jsou mezi sebou zapojeny sériově,

zdroj napětí U_Z je připojen do obvodu ke všem kondenzátorům v sérii paralelně,

napětí na jednotlivých kondenzátorech má rozdílnou hodnotu,

v obvodu platí druhý Kirchhoffův zákon: $U_{Z} = U_{C 1} + U_{C 2} + U_{C 3}$ ,

velikost uloženého náboje bude v jednotlivých kondenzátorech stejná.

Výpočty:

Výpočet velikosti náboje na jednotlivých kondenzátorech určíme ze vztahu:

C = \frac{Q}{U} \to \to Q = C \cdot U .

Pro velikost náboje na jednotlivých kondenzátorech v sériovém zapojení platí vztah:

Q_{C} = Q_{C 1} = Q_{C 2} = Q_{C 3}

Všemi kondenzátory v sériovém zapojení protekl stejný nabíjecí proud!!!

Na kondenzátoru C₁ bude napětí U_C1:

U_{C 1} = \frac{Q_{C 1}}{C_{1}} = \frac{?}{C_{1}}

Hodnotu napětí U_C1 nelze ze zadaných parametrů vypočítat, neznáme hodnotu náboje Q_C1. Z výše uvedené rovnice rovnosti nábojů můžeme vypočítat Q_C ze vzorce:

Q_{C} = C_{v ý s l e d n á} \cdot U_{Z}

Výsledná kapacita C_výsledná je hodnota kapacity obvodu v místě připojení zdroje U_Z. V našem obvodu je celková kapacita C_výsledná dána sériovým zapojením C₁, C₂ a C₃.

\frac{1}{C_{v ý s l e d n á}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}

\frac{1}{C_{v ý s l e d n á}} = \frac{C_{2} \cdot C_{3} + C_{1} \cdot C_{3} + C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} \cdot C_{2} \cdot C_{3}} p o ú p r a v ě

C_{v ý s l e d n á} = \frac{C_{1} \cdot C_{2} \cdot C_{3}}{C_{2} \cdot C_{3} + C_{1} \cdot C_{3} + C_{1} \cdot C_{2}} = \frac{5 µ F \cdot 10 µ F \cdot 50 µ F}{10 µ F \cdot 50 µ F + 5 µ F \cdot 50 µ F + 5 µ F \cdot 10 µ F} = \frac{2 500 µ F}{800 µ F} = 3,125 µ F

Pro výsledný náboj platí:

Q_{C} = C_{v ý s l e d n á} \cdot U_{Z} = 3,125 \cdot 10^{- 6} \cdot 8 = 25 \cdot 10^{- 6} C = 25 µ C

Q_{C} = Q_{C 1} = Q_{C 2} = Q_{C 3} = 25 µ C

Na kondenzátoru C₁ bude napětí U_C1:

U_{C 1} = \frac{Q_{C 1}}{C_{1}} = \frac{25 \cdot 10^{- 6}}{5 \cdot 10^{- 6}} = 5 V .

Na kondenzátoru C₂ bude napětí U_C2:

U_{C 2} = \frac{Q_{C 2}}{C_{2}} = \frac{25 \cdot 10^{- 6}}{10 \cdot 10^{- 6}} = 2,5 V .

Na kondenzátoru C₃ bude napětí U_C3:

U_{C 3} = \frac{Q_{C 3}}{C_{3}} = \frac{25 \cdot 10^{- 6}}{50 \cdot 10^{- 6}} = 0,5 V .

Kontrola platnosti druhého Kirchhoffova zákona:

U_{Z} =

8 V,

U_{Z} = U_{C 1} + U_{C 2} + U_{C 3} = 5 + 2,5 + 0,5 = 8 V

Ze zdroje napětí byl odebrán náboj

Q_{C} = 25 µ C

, největší napětí je na kondenzátoru s nejmenší kapacitou.

Obr. 40. [Příklad č. 65] Náboj a napětí na kondenzátorech v obvodu

Příklad

[Příklad č. 65] V obvodu jsou zapojeny čtyři kondenzátory s kapacitami C₁ = 5 µF, C₂ = 10 µF, C₃ = 2 µF a C₄ = 3 µF. Vypočítejte velikost uloženého náboje (Q_C1, Q_C2 a Q_C4) a napětí (U_C1, U_C2 a U_C4) na jednotlivých kondenzátorech v obvodu. Napětí na kondenzátoru C₃ má hodnotu 2,5 V. Z hodnot napětí na jednotlivých kondenzátorech stanovte hodnotu napájecího zdroje U_Z.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Kondenzátory C₂ a C₃ jsou zapojeny paralelně, napětí na obou kondenzátorech má stejnou velikost.

U_{C 2} = U_{C 3} = 2,5 V

Kondenzátory C₂ a C₃ mají odlišnou kapacitu, náboj uložený na kondenzátorech má velikost:

Q_{C 2} = C_{2} \cdot U_{C 2} = 10 \cdot 10^{- 6} \cdot 2,5 = 25 \cdot 10^{- 6} C = 25 µ C

Q_{C 3} = C_{3} \cdot U_{C 3} = 2 \cdot 10^{- 6} \cdot 2,5 = 5 \cdot 10^{- 6} C = 5 µ C

Celkový náboj

Q_{C 23}

uložený na kondenzátorech C₂ a C₃ má hodnotu:

Q_{C 23} = Q_{C 2} + Q_{C 3} = 25 µ C + 5 µ C = 30 µ C

V obvodu s kapacitními prvky zapojenými do série platí rovnost náboje:

Q_{C 1} = Q_{C 23} = Q_{C 4} = 30 µ C

Z hodnoty kapacity kondenzátorů C₁, C₄ a uloženého náboje

Q_{C 1}, Q_{C 4}

stanovíme jednotlivá napětí
na kondenzátorech:

U_{C 1} = \frac{Q_{C 1}}{C_{1}} = \frac{30 µ C}{5 µ F} = \frac{30 \cdot 10^{- 6}}{5 \cdot 10^{- 6}} = 6 V

U_{C 4} = \frac{Q_{C 4}}{C_{4}} = \frac{30 µ C}{3 µ F} = \frac{30 \cdot 10^{- 6}}{3 \cdot 10^{- 6}} = 10 V

Celkové napětí napájecího zdroje U_Z se vypočítá podle druhého Kirchhoffova zákona jako součet dílčích napětí kondenzátorů v uzavřené smyčce:

U_{Z} = U_{C 1} + U_{C 2} + U_{C 4} = 6 + 2,5 + 10 = 18,5 V

Obr. 41. [Příklad č. 66] Náboj a napětí na kondenzátorech v obvodu

Příklad

[Příklad č. 66] V obvodu jsou zapojeny tři kondenzátory s kapacitami C₁ =22 µF, C₂ = 100 µF, C₃ = 220 µF. Vypočítejte velikost celkového náboje uloženého v kondenzátorech C₁, C₂, C₃ a napětí na kondenzátorech (Uc₁ až U_C3). Napětí zdroje U_Z = 12 V.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Vypočítejte samostatně:

…………………………………………………………………….

[Výsledky: U_C1 = 9,83 V, U_C2 = 2,16 V, U_C3 = 12 V, Q_C1 = 216 µC, Q_C2 = 216 µC, Q_C3 = 2,64 mC]

Obr. 42. [Příklad č. 67] Kapacitní dělič v obvodu stejnosměrného napětí

Příklad

[Příklad č. 67] V obvodu jsou zapojeny dva kondenzátory C₁ = 5 µF a C₂ = 10 µF. Zapojení obou kondenzátorů realizuje kapacitní dělič. Odvoďte vztah pro výpočet výstupního napětí kapacitního děliče. Vypočítejte hodnotu výstupního napětí U₂, hodnota vstupního napětí U₁ = 30 V.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Zapojení připomíná odporový dělič napětí. Vstupní napětí (svorky A-B) působí na oba kondenzátory zapojené do série (vzhledem k vstupním svorkám), výstupní napětí (svorky C-D) kapacitního děliče je stejné jako napětí na kondenzátoru C₂. Celková kapacita v obvodu vzhledem ke svorkám A-B:

\frac{1}{C_{V}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}, p o ú p r a v ě C_{V} = \frac{C_{1} \cdot C_{2}}{C_{1} + C_{2}}

C_{V} = \frac{5 \cdot 10^{- 6} \cdot 10 \cdot 10^{- 6}}{5 \cdot 10^{- 6} + 10 \cdot 10^{- 6}} = \frac{50 \cdot 10^{- 12}}{15 \cdot 10^{- 6}} = 3,333 \cdot 10^{- 6} = 3,333 µ F .

Pro náboj na kondenzátorech platí:

Q_{C} = Q_{C 1} = Q_{C 2}

Q_{C} = C_{V} \cdot U_{Z} = 3,333 \cdot 10^{- 6} \cdot 30 = 100

10^{- 6} C = 100 µ C .

Pro hodnotu výstupního napětí U₂ můžeme psát:

U_{2} = U_{C 2} = \frac{Q_{C 2}}{C_{2}} = \frac{100 \cdot 10^{- 6}}{10 \cdot 10^{- 6}} = 10 V .

Obecný vztah pro výpočet výstupního napětí kapacitního děliče ve stejnosměrném obvodu:

U_{2} = U_{Z} \cdot \frac{C_{V}}{C_{2}}

Dosazením známých hodnot provedeme kontrolu výpočtu:

U_{2} = U_{Z} \cdot \frac{C_{V}}{C_{2}} = 30 \cdot \frac{3,333 \cdot 10^{- 6}}{10 \cdot 10^{- 6}} = 10 V

Platnost vztahu potvrzena, výstupní napětí U₂ = 10 V.

Obr. 43. [Příklad č. 68] Napětí na kondenzátoru v obvodu s přepínačem

Příklad

[Příklad č. 68] V obvodu jsou zapojeny dva kondenzátory s kapacitami C₁ = 470 µF a C₂ = 1000 µF. Slovně popište obvodové veličiny a vypočítejte velikost napětí na kondenzátoru C₂ (po ustálení) při přepnutí přepínače z polohy „A“ do polohy „B“. Napětí zdroje U_Z = 15 V.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Slovní popis obvodových veličin:

v obvodu je zapojen ideální zdroj napětí U_Z a dva ideální kondenzátory,

pokud se přepínač nachází dostatečně dlouhou dobu v poloze „A“, stačí se kondenzátor C₁ nabít a napětí na jeho svorkách dosáhne napětí zdroje U_Z,

na deskách kondenzátoru C₁ bude uložen náboj Q_C1A,

přepnutím přepínače do polohy „B“ se kondenzátor C₁ odpojí od zdroje U_Z a dojde k paralelnímu spojení kondenzátorů C₁ a C₂,

část náboje uloženého na C₁ se přesune do kondenzátoru C₂, napětí na kondenzátoru C₁ se sníží.

Výpočet napětí na kondenzátorech:

Přepínač v poloze „A“:

Napětí na kondenzátoru C1:

U_{C 1 A} = U_{Z} =

15 V.

Náboj uložený na kondenzátoru C₁:

Q_{C 1 A} = C_{1} \cdot U_{Z} = 470 \cdot 10^{- 6} \cdot 15 = 7 050 µ C

Přepínač v poloze „B“:

Celková kapacita paralelního zapojení kondenzátorů C₁ a C₂:

C_{V} = C_{1} + C_{2} = 470 + 1000 = 1 470 µ F .

Náboj Q_C1A se přerozdělí do obou kondenzátorů:

C = \frac{Q}{U} \to z e v z o r c e v y j á d ř í m e n a p ě t í U = \frac{Q}{C},

Pro napětí na kondenzátorech platí:

U_{C 1 B} = U_{C 2 B} = \frac{Q_{C 1 A}}{C_{V}} = \frac{7 050 \cdot 10^{- 6}}{1 470 \cdot 10^{- 6}} ≐ 4,8 V .

[Výsledky: Napětí na C₁ poklesne z hodnoty 15 V na 4,8 V, napětí na kondenzátoru C₂ se zvýší z hodnoty 0 V na hodnotu 4,8V.]

Obr. 44. [Příklad č. 69] Napětí na kondenzátorech v obvodu s přepínačem

Příklad

[Příklad č. 69] V obvodu jsou zapojeny tři kondenzátory s kapacitami C₁ = 220 µF, C₂ = 100 µF a C₃ = 470 µF. Vypočítejte velikost napětí a náboje uloženého v kondenzátorech C₁, C₂ a C₃ při postupném přepínání z polohy „A“ do polohy „C“ přes polohu „B“. Napětí zdroje U_Z = 50 V.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Vypočítejte samostatně:

…………………………………………………………..

[Výsledky: Přepínač v poloze A: U_C1 = 50 V, Q_C1 = 11 mC. Přepínač v poloze B: U_C1 =

U_{C 2} ≐

34,4 V, Q_C1 = 7,57 mC, Q_C2 = 3,44 mC. Přepínač v poloze C: U_C1 =

U_{C 3} =

10,97 V, Q_C1 = 2,42 mC, Q_C3 = 5,16 mC.]