Elektrotechnika IV

2.3

Obvody RL (vybíjení)

Obr. 6. [Příklad č. 5] Obvod RL (vybíjení) – napětí a proud cívky L

Obr. 7. Obvod RL (vybíjení) – časové průběhy napětí a proudu

Příklad

[Příklad č. 5] Obvod s rezistorem R a cívkou L je v čase

t_{0} = 0 s

(začátek přechodného děje) pomocí přepínače S odpojen od ideálního zdroje napětí U₀. Slovně a pomocí vzorců popište základní obvodové rovnice a odvoďte vztah pro výpočet napětí na cívce L.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Dostatečně dlouhou dobu byl obvod s rezistorem a cívkou připojen ke zdroji U₀. (viz schéma zapojení). Okrajové podmínky řešení přechodného děje jsou:

v čase t = 0 s je i(0) = I₀ a u_L(0) = 0 V,

v čase t = ∞ s je i(∞) = 0 A.

Pro stanovení hodnoty proudu I₀můžeme psát:

I_{0} = \frac{U_{0}}{R}

Podle druhého Kirchhoffova zákona platí:

u_{R} (t) + u_{L} (t) = 0

Dále rozepíšeme:

R \cdot i (t) + L \cdot \frac{d i (t)}{d t} = 0

Vznikla diferenciální rovnice, kterou můžeme vyřešit metodou separace proměnných:

i (t) = - \frac{L}{R} \cdot \frac{d i (t)}{d t} p o ú p r a v ě i (t) = - τ \cdot \frac{d i (t)}{d t}

\frac{d i (t)}{i (t)} = - \frac{d t}{τ}

Po integraci a matematických úpravách dostaneme výsledný tvar pro vybíjecí proud:

i (t) = I_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

V průběhu přechodného děje bude napětí na cívce:

u_{L} = L \cdot \frac{d i (t)}{d t} = - L \cdot I_{0} \cdot \frac{1}{τ} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} d o s a d í m e z a τ = \frac{L}{R}

u_{L} = - R \cdot I_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = - U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

Část výrazu „-U₀“ znamená, že v časovém okamžiku t = 0 vzniká na cívce napětí U₀opačné polarity (opačného směru) v porovnání s nabíjecím procesem v obvodu RL.

Obr. 8. [Příklad č. 6] Obvod RL (vybíjení) – výpočet obvodových veličin

Příklad

[Příklad č. 6] V obvodu se zdrojem napětí

U_{1} = 30 V

, rezistorem

R = 10 Ω

a cívkou

L = 80 m H

dojde v čase

t_{0} = 0 s

k sepnutí spínače

S_{1}

. Vypočítejte napětí a proudy v obvodu na počátku přechodného děje

t_{0} = 0 s

a v čase

t = 1 \cdot τ

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Výpočet obvodových konstant:

τ = \frac{L}{R} = \frac{80 \cdot 10^{- 3}}{10} = 0,008 s = 8 m s,

I_{0} = \frac{U_{1}}{R} = \frac{30}{10} = 3 A .

V ustáleném stavu:

u_{R} (t_{0}) = 30 V; u_{L} (t_{0}) = 0 V a i (t_{0}) = 3 A

V čase

t_{0} = 0 s

(počátek přechodného děje) v obvodu platí:

u_{R} (t_{0}) = 30 V; u_{L} (t_{0}) = - 30 V a i (t_{0}) = 3 A .

Pro časový průběh proudu cívkou (přechodný děj) platí:

i_{L} (t) = I_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

V čase

t = τ

bude cívkou procházet proud:

i_{L} (t) = I_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = 3 \cdot e^{- \frac{0,008}{0,008}} = 3 \cdot e^{- 1} = 3 \cdot 0,368 = 1,10 A

Pro časový průběh napětí na cívce (přechodný děj) platí:

u_{L} (t) = {- U}_{1} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = - 30 \cdot e^{- \frac{τ}{τ}} = - 30 \cdot e^{- 1} = - 30 \cdot 0,368 ≐ - 11,04 V

Na počátku přechodného děje na cívce působí napětí -30 V a v čase o velikosti jedné časové konstanty τ napětí na cívce poklesne na hodnotu -11,04 V. Na počátku přechodného vybíjecího děje prochází cívkou maximální proud o velikosti 3,0 A, v čase jedné časové konstanty má proud procházející cívkou velikost 1,10 A.

Obr. 9. [Příklad č. 7] Obvod RL (vybíjení) – výpočet obvodových veličin

Příklad

[Příklad č. 7] V obvodu se zdrojem napětí

U_{1} = 30 V

, rezistorem

R = 15 Ω

a cívkou

L = 60 m H

dojde v čase

t_{0} = 0 s

k sepnutí spínače

S_{1}

. Vypočítejte napětí a proudy v obvodu na počátku přechodného děje

t_{0} = 0 s

a v čase

t = 2,5 m s

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Vypočítejte samostatně:

…………………………………………………………………………………….

[V ý s l e d k y : τ = 4 m s, u s t á l e n ý p r o u d I_{0} = 2 A, u_{L} (2,5 m s) = 16,06 V;

i_{L} (2,5 m s) = 1,07 A]

Obr. 10. [Příklad č. 8] Obvod RL vybíjení – časový průběh napětí

Příklad

[Příklad č. 8] V obvodu se zdrojem napětí

U_{1} = 12 V

, rezistorem

R = 100 Ω

a cívkou

L = 100 m H

dojde v čase

t_{0} = 0 s

k sepnutí spínače

S_{1}

. Vypočítejte čas, kdy napětí na rezistoru bude mít hodnotu

u_{R} (?) = 1 V .

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Výpočet časové konstanty obvodu:

τ = \frac{L}{R} = \frac{100 \cdot 10^{- 3}}{100} = 0,001 s = 1 m s .

V obvodu platí:

u_{L} (t) = u_{R} (t)

Čas můžeme počítat z průběhu poklesu napětí na rezistoru R nebo cívce L:

u_{L} (t) = {- U}_{1} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} n e b o R \cdot i_{R} (t) = {R \cdot i}_{L} (t) = {R \cdot I}_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

Z rovnice pro průběh napětí na cívce vyjádříme čas:

\frac{u_{L} (t)}{U_{1}} = e^{- \frac{t}{τ}} p o d o s a z e n í \frac{1}{12} = e^{- \frac{t}{0,001}} .

Pro hodnotu času platí:

{l n}_{e} \frac{1}{12} = - \frac{t}{0,001} p r o č a s p l a t í : t = - 0,001 \cdot {l n}_{e} \frac{1}{12}

t = - 0,001 \cdot {l n}_{e} \frac{1}{12} = - 0,001 \cdot (- 2,48) = 2,48 m s .

Napětí na rezistoru dosáhne hodnoty jeden volt v čase

t = 2,48 m s .