Okrajové podmínky řešení přechodného děje jsou:

V čase $t=0 s$ sepne spínač S1 a připojí zdroj napětí k sériovému obvodu s rezistorem R a kondenzátorem C. V obvodu vznikne uzavřená smyčka (zdroj-spotřebič RC) a v ní začne protékat proud. Hledáme časovou funkci, která odpovídá průběhu napětí na kondenzátoru $u_C\left(t\right)=f\left(t\right).$ V uzavřené smyčce můžeme psát podle druhého Kirchhoffova zákona rovnici:

$-U_0+R·i\left(t\right)+u_C\left(t\right)=0$ ,

$-U_0+R·i\left(t\right)+\frac{1}{C}·\int i\left(t\right)dt=0$ .

Z rovnice hledáme funkci $i\left(t\right)$ , která je řešením rovnice. Dalším krokem matematické úpravy je odstranění integrálu, které provedeme derivací celé rovnice dle času:

$R·\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}·i\left(t\right)=0$ .

Dále upravíme:

$\frac{di\left(t\right)}{dt}=-\frac{1}{R·C}·i\left(t\right)$ .

Metodou separace proměnných dostaneme výsledný tvar:

Z rovnice:

$-U_0+R·i\left(t\right)+u_C\left(t\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }vyj\mathrm{á}d\mathrm{ř}\mathrm{í}me\mathrm{ }nap\mathrm{ě}t\mathrm{í}\mathrm{ }na\mathrm{ }kondenz\mathrm{á}toru\mathrm{ }{u}_C$ ,

$u_C\left(t\right)=U_0-R·i\left(t\right)$ ,

$u_C\left(t\right)=U_0-R·\frac{U_0}{R}·e^{-\mathrm{ }\frac{t}{\tau }}$ ,

${\mathit{u}}_{\mathit{C}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{U}}_0·(1-{\mathit{e}}^{-\mathbf{ }\frac{\mathit{t}}{\mathit{\tau }}}\mathbf{ })$ .

Pro napětí na rezistoru R platí:

nebo můžeme odvodit:

Proudový obvod není uzavřen, ze zdroje U_Z neprotéká do rezistoru a kondenzátoru proud.

$U_Z=U_R+U_C\mathrm{ }\to nap\mathrm{ě}t\mathrm{í}\mathrm{ }na\mathrm{ }kondenz\mathrm{á}toru\mathrm{ }a\mathrm{ }odporu\mathrm{ }se\mathrm{ }v\mathrm{ }\mathrm{č}ase\mathrm{ }m\mathrm{ě}n\mathrm{í}$ ,

$U_Z=u_R\left(t\right)+u_C\left(t\right)$ .

V čase t = 0 s je napětí na kondenzátoru $u_C\left(0\right)=0 V.$ Pro napětí na rezistoru platí:

Pro proud v uzavřené smyčce platí:

Odpor a kondenzátor jsou zapojeny do série. Proud rezistorem je stejný jako proud kondenzátorem, můžeme tedy psát:

$i_R\left(t\right)=i_c\left(t\right)$ .

V čase t = 0 s platí:

Napětí na kondenzátoru se zvyšuje, platí vztah:

$u_C \left(t\right)=U_Z·\left(1-e^{- \frac{t}{\tau }}\right)=9·(1-e^{- \frac{t}{R·C}} )$ .

Napětí na rezistoru se snižuje, platí vztah:

$u_R\left(t\right)=U_Z-u_C\left(t\right)=U_Z-U_Z·\left(1-e^{- \frac{t}{\tau }}\right)=U_Z·e^{- \frac{t}{\tau }}$ .

Pro proud v uzavřené smyčce platí:

Proud definujeme z napětí na rezistoru (Ohmův zákon):

$i_R\left(t\right)=i_c\left(t\right)=\frac{u_{R }\left(t\right)}{R}=\frac{U_Z·e^{- \frac{t}{\tau }}}{R}=\frac{U_Z}{R}·e^{- \frac{t}{\tau }}=\frac{9}{1000}·e^{- \frac{t}{R·C}}$ .

V praxi se za ukončený přechodný děj považuje čas t s hodnotou tři až pěti τ.

Řešení:

$u_C \left(\mathrm{0,1}\tau \right)=U_Z·\left(1-e^{- \frac{t}{\tau }}\right)=U_{Z }·\left(1-e^{- \frac{\mathrm{0,1}·\tau }{\tau }}\right)=20·\left(1-e^{- \mathrm{0,1}}\right)=20·\left(1-0.9048\right)$ ,

Vypočítejte samostatně napětí a proud v čase $\mathit{t}=3\mathit{\tau }:$

………………………………………………………………………………...

[Výsledky: t = 0,3τ→( $u_C=$ 19,0 V, $u_R=\mathrm{0,996} V, i_R=\mathrm{99,5} \mu A\left)\right]$

Pro shodné napětí na rezistoru a kondenzátoru platí:

${\mathit{u}}_{\mathit{R}}\left(\mathit{t}\right)={\mathit{u}}_{\mathit{C}}\left(\mathit{t}\right)=\frac{{\mathit{U}}_{\mathit{Z}}}{2}=10\mathit{ }\mathit{V}$ .

Čas můžeme vypočítat ze vztahu pro $u_C\left(t\right) \mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o} u_R\left(t\right).$ Jednodušší tvar má vztah:

Po matematické úpravě můžeme psát:

${ln}_e\frac{u_R \left(t\right)}{U_Z}=-\frac{t}{\tau } a pro čas můžeme psát:t=-\tau ·{ln}_e\frac{u_R \left(t\right)}{U_Z}$ .

Po dosazení hodnot:

Kontrolu výpočtu provedeme dosazením vypočítaného času do vztahu:

$u_C \left(t\right)=U_Z·\left(1-e^{- \frac{t}{\tau }}\right)=20·\left(1-e^{- \frac{\mathrm{0,693}}{10 000·100·{10}^{-6}}}\right)=20·\left(1-e^{- 0.693}\right)=20·\left(1-0.500\right)$ ,

Napětí na kondenzátoru a rezistoru bude stejné v čase $\mathit{t}=\mathrm{0,693}\mathit{ }\mathit{s}.$

Při pohledu na obvodové zapojení součástek zjišťujeme, že máme v obvodu dva rezistory a nevíme, jakou hodnotu odporu dosadit pro výpočet časové konstanty obvodu. Také hodnota napětí zdroje není na první pohled jednoznačná, nevíme, na jaké napětí se nabije kondenzátor v čase po ukončení přechodného děje. Jedinou metodou výpočtu je náhrada obvodu Theveninovým zdrojem napětí. Náhradu obvodu provedeme vzhledem ke svorkám, kde je připojený kondenzátor:

V obvodu bez kondenzátoru vypočítáme parametry náhradního Theveninova zdroje:

Nyní máme standardní podobu obvodu s jedním napěťovým zdrojem $U_{0T}=5 V$ , rezistorem $R_{iT}=50 \Omega$ a kondenzátorem C = 100 μF.

Časovou konstantu obvodu vypočítáme:

Napětí na kondenzátoru se nabije na hodnotu zdroje $U_{0T}$ :