Elektrotechnika IV

2.5

Obvody RC (vybíjení)

Obr. 17. [Příklad č. 14] Obvod RC (vybíjení) – napětí a proud kondenzátoru C

Obr. 18. Obvod RC (vybíjení) – časové průběhy napětí a proudu

Příklad

[Příklad č. 14] Obvod s rezistorem R a kondenzátorem C je pomocí spínače S odpojen od ideálního zdroje napětí U₀. Slovně a pomocí vzorců popište základní obvodové rovnice a odvoďte vztah pro výpočet napětí na kondenzátoru C v době vybíjení.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Dostatečně dlouhou dobu je obvod RC připojen ke zdroji napětí. Okrajové podmínky řešení přechodného děje jsou:

v čase t = 0 s je náboj Q na kondenzátoru nenulový (Q > 0)
$Q = C \cdot U_{0}$ ,

v čase t = 0 s je napětí na kondenzátoru U₀ $U_{0} = \frac{Q}{C}$ ,

v čase t = 0 s je proud i(t) = 0 A.

V čase

t = 0 s

sepne spínač S2. V obvodu vznikne uzavřená smyčka (kondenzátor C s uloženým nábojem Q → spotřebič R) a ve smyčce začne protékat proud. Hledáme časovou funkci, která odpovídá průběhu napětí na kondenzátoru

u_{C} (t) = f (t) .

V uzavřené smyčce můžeme psát podle druhého Kirchhoffova zákona rovnici:

u_{C} (t) + R \cdot i (t) = 0 .

Upravíme tvar rovnice:

R \cdot i (t) = - u_{C} (t)

R \cdot i (t) = - \frac{1}{C} \cdot \int i (t) d t

Hledáme řešení rovnice, tedy funkci

i (t)

. Dalším krokem matematické úpravy je odstranění integrálu, které provedeme derivací celé rovnice dle času:

i (t) = - R \cdot C \cdot \frac{d i (t)}{d t}

Dále upravíme:

\frac{d i (t)}{d t} = - \frac{1}{R \cdot C} \cdot i (t)

Metodou separace proměnných dostaneme výsledný tvar:

i (t) = \frac{U_{0}}{R} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} .

Z rovnice:

u_{C} (t) = u_{R} (t) = R \cdot i (t) v y j á d ř í m e n a p ě t í n a k o n d e n z á t o r u u_{C},

u_{C} (t) = R \cdot \frac{U_{0}}{R} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

u_{C} (t) = U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}

Obr. 19. [Příklad č. 15] Obvod RC (vybíjení) – výpočet obvodových veličin

Příklad

[Příklad č. 15] Kondenzátor je nabitý na napětí U_C= 6,5 V. V čase

t = 0 s

je odpojen od zdroje napětí U_Z. Popište vlastnosti prvků a obvodových veličin v obvodu. Vyjádřete základní obvodové rovnice pro napětí a proud na obvodových součástkách.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Slovní popis obvodu:

rezistor, kondenzátor a zdroj napětí považujeme za ideální obvodové prvky,

v uzavřené vybíjecí smyčce (rezistor-kondenzátor) platí pro napětí vztah $U_{R} = U_{C}$ ,

při odpojení zdroje U_Z od kondenzátoru se bude napětí na kondenzátoru snižovat, napětí na rezistoru se bude také snižovat,

vybíjecí proud se v čase mění (mění se napětí na odporu → Ohmův zákon), má klesající charakter.

Výpočet:

Před sepnutím spínače S

Kondenzátor je nabitý na napětí zdroje

U_{Z} = 6,5 V .

Při sepnutí spínače S (čas t = 0 s)

Napěťový zdroj se odpojil od obvodu RC, rezistor se připojil paralelně ke kondenzátoru.

Pro napětí v uzavřené smyčce platí:

U_{C} = U_{R} \to n a p ě t í n a k o n d e n z á t o r u a o d p o r u j e s t e j n é (p a r a l e l n í z a p o j e n í)

u_{C} (t) = u_{R} (t)

V čase t = 0 s je napětí na kondenzátoru

u_{C} (0) = 6,5 V .

Pro napětí na rezistoru platí:

u_{C} (t) = u_{R} (t) = 6,5 V .

Doba přechodného děje (t ˃ 0 s)

Pro napětí v uzavřené smyčce platí:

Napětí na kondenzátoru se snižuje, platí vztah:

u_{C} (t) = U_{Z} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = 6,5 \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}

Napětí na rezistoru se snižuje, platí vztah:

u_{R} (t) = u_{C} (t) = U_{Z} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}

Pro proud v uzavřené smyčce platí:

Proud definujeme z napětí na rezistoru (Ohmův zákon).

i_{R} (t) = i_{c} (t) = \frac{u_{R} (t)}{R} = \frac{U_{Z} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}}{R} = \frac{U_{Z}}{R} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = \frac{6,5}{R} \cdot e^{- \frac{t}{R \cdot C}}

Ukončení přechodného děje (t = 3τ až t = 5τ)

V praxi se za ukončený přechodný děj považuje čas t s hodnotou tři až pěti τ.

Obr. 20. [Příklad č. 16] Obvod RC (vybíjení) – časové průběhy napětí

Příklad

[Příklad č. 16] Obvod s rezistorem R = 1 000 Ω a kondenzátorem C = 220 µF je pomocí spínače S odpojen od zdroje ideálního napětí U_Z = 20 V. Vypočítejte napětí na rezistoru a kondenzátoru v čase

t = 0,1 τ a 0,5 τ

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Počáteční podmínky:

{u_{C} (t = 0) = u}_{C} (0 τ) = U_{Z} = 20 V

u_{R} (t = 0) = 0 V

Přechodný děj (sepnutí spínače):

u_{C} (0,1 τ) = U_{Z} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = U_{Z} \cdot e^{- \frac{0,1 \cdot τ}{τ}} = 20 \cdot e^{- 0,1} = 20 \cdot 0,905 = 18,1 V

u_{R} (0,1 τ) = U_{Z} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = U_{Z} \cdot e^{- \frac{0,1 \cdot τ}{τ}} = 20 \cdot e^{- 0,1} = 18,1 V

i_{R} (0,1 τ) = \frac{U_{Z}}{R} \cdot e^{- \frac{0,1 \cdot τ}{τ}} = \frac{20}{1000} \cdot e^{- 0,1} = 0,02 \cdot 0,905 = 18,1 m A

u_{C} (0,5 τ) = U_{Z} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = U_{Z} \cdot e^{- \frac{0,5 \cdot τ}{τ}} = 20 \cdot e^{- 0,5} = 20 \cdot 0,606 =

12,3 V,

u_{R} (0,5 τ) = U_{Z} \cdot e^{- \frac{t}{τ}} = U_{Z} \cdot e^{- \frac{0,5 \cdot τ}{τ}} = 20 \cdot e^{- 0,5} = 12,3 V

i_{R} (0,5 τ) = \frac{U_{Z}}{R} \cdot e^{- \frac{0,5 \cdot τ}{τ}} = \frac{20}{1000} \cdot e^{- 0,5} = 0,02 \cdot 0,606 = 12,1 m A

Obr. 21. [Příklad č. 17] Obvod RC (vybíjení)

Příklad

[Příklad č. 17] Kondenzátor C = 100 µF je nabitý na napětí 25 V. Na svorky kondenzátoru byl připojen rezistor R = 100 Ω. Vypočítejte dobu potřebnou k poklesu napětí kondenzátoru na hodnotu

U_{C} = 8 V .

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Vzorec pro vybíjení kondenzátoru C přes rezistor R má tvar:

u_{C} (t) = U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}, z r o v n i c e v y j á d ř í m e p r o m ě n n o u t .

\frac{u_{C} (t)}{U_{0}} = e^{- \frac{t}{τ}}

Celou rovnici zlogaritmujeme:

p l a t í : {l n}_{e} x = y, p r o k t e r é p l a t í e^{y} = x

{l n}_{e} \frac{u_{C} (t)}{U_{0}} = - \frac{t}{τ}

Vyjádříme čas t:

t = - τ \cdot {l n}_{e} \frac{u_{C} (t)}{U_{0}} = - R \cdot C \cdot {l n}_{e} \frac{8}{25} = - R \cdot C \cdot (- 1,14)

t = - 100 \cdot 100 \cdot 10^{- 6} \cdot (- 1,14) = 11,4 m s

[Výsledek: U kondenzátoru C poklesne napětí z 25 V na 8 V za dobu t = 11,4 ms.]

Obr. 22. [Příklad č. 18] Obvod RC (vybíjení)

Příklad

[Příklad č. 18] Kondenzátor C = 1000 µF je nabitý na napětí 100 V. Na svorky kondenzátoru byl připojen rezistor R s neznámou ohmickou hodnotou. Vypočítejte hodnotu rezistoru R. Napětí na kondenzátoru se snížilo za dobu t = 1 s na hodnotu

U_{C} = 30 V

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Vzorec pro vybíjení kondenzátoru C přes rezistor R má tvar:

u_{C} (t) = U_{0} \cdot e^{- \frac{t}{τ}}, z r o v n i c e v y j á d ř í m e p r o m ě n n o u τ .

\frac{u_{C} (t)}{U_{0}} = e^{- \frac{t}{τ}}

Celou rovnici zlogaritmujeme:

p l a t í : {l n}_{e} x = y, p r o k t e r é p l a t í e^{y} = x

{l n}_{e} \frac{u_{C} (t)}{U_{0}} = - \frac{t}{τ}

Vyjádříme časovou konstantu τ:

τ = - \frac{t}{{l n}_{e} \frac{u_{C} (t)}{U_{0}}} = - \frac{1}{{l n}_{e} \frac{30}{100}} = 0,83 s

τ = R \cdot C = 0,83 \to R = \frac{0,83}{C} = \frac{0,83}{1000 \cdot 10^{- 6}} = 830 Ω .

[Výsledek: Při vybíjení byl na svorky kondenzátoru připojen rezistor s hodnotou 830 Ω.]