Elektrotechnika IV

3.4

Obvody RC (sériové zapojení)

Obr. 29. [Příklad č. 25] Sériové zapojení obvodu RC – vlastnosti

Příklad

[Příklad č. 25] V obvodu sériového zapojení rezistoru R a kondenzátoru C slovně popište vlastnosti obvodových prvků a obvodových veličin. Vyjádřete základní obvodové rovnice pro napětí, proudy a výkony na jednotlivých obvodových součástkách.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Slovní popis obvodu:

rezistor, kondenzátor a zdroj napětí považujeme za ideální obvodové prvky,

v sériovém zapojení rezistoru a kondenzátoru protéká oběma prvky stejný proud I,

celkové napětí obou prvků je definováno jako vektorový součet $\bar{U_{R}} + \bar{U_{C}}$ ,

impedance ideálního rezistoru $\bar{Z_{R}} = R [Ω]$ ,

impedance ideálního kondenzátoru
$\bar{Z_{C}} = - j X_{L} = - j \frac{1}{ω \cdot C} = \frac{1}{j ω \cdot C} [Ω]$ .

Obvodové rovnice:

Celková impedance

\bar{Z}

sériového zapojení odporu R a kondenzátoru C:

\bar{Z} = {\bar{Z}}_{R} + {\bar{Z}}_{C} = R + \frac{1}{j ω \cdot C} = R - j \frac{1}{ω \cdot C} .

Pro modul impedance

|Z|

z impedančního trojúhelníku platí:

{|\bar{Z}|}^{2} = {(R e á l n á č á s t \bar{Z})}^{2} + {(I m a g i n á r n í č á s t \bar{Z})}^{2}

\bar{| Z |} = \sqrt{{(R e á l n á č á s t \bar{Z})}^{2} + {(I m a g i n á r n í č á s t \bar{Z})}^{2}} = \sqrt{R^{2} + {(\frac{1}{ω \cdot C})}^{2}}

Fázový úhel φ můžeme definovat z napěťového, impedančního nebo výkonového trojúhelníku:

\sin φ = \frac{U_{C}}{U} n e b o \sin φ = \frac{X_{C}}{|Z|} n e b o \sin φ = \frac{Q_{C}}{S}

\cos φ = \frac{U_{R}}{U} n e b o \cos φ = \frac{R}{|Z|} n e b o \cos φ = \frac{P}{S}

\tan φ = \frac{U_{C}}{U_{R}} n e b o \tan φ = \frac{X_{C}}{R} n e b o \tan φ = \frac{Q_{C}}{P} .

φ_{U} = a r c t g \frac{i m a g i n á r n í č á s t \bar{Z}}{r e á l n á č á s t \bar{Z}} = a r c t g \frac{\frac{1}{ω \cdot C}}{R} = a r c t g \frac{1}{ω \cdot R \cdot C}

Pro napětí v obvodu platí:

\bar{U} = \bar{U_{R}} + \bar{U_{C}}

(vektorový součet!!).

Absolutní hodnotu výsledného napětí

|U|

vypočítáme:

|U| = U = \sqrt{U_{R}^{2} + U_{C}^{2}}

Proud I v obvodu můžeme vypočítat z napětí a odporu (Ohmův zákon):

I = \frac{U_{R}}{R} n e b o I = \frac{U_{L}}{X_{L}} n e b o I = \frac{U}{|Z|} .

Činný výkon P, jalový výkon Q a zdánlivý výkon S definujeme:

P = U_{R} \cdot I [W]

Q = Q_{L} = U_{L} \cdot I [V a r]

S = U \cdot I [V A] .

Pro vzájemný vztah mezi výkony platí:

S^{2} = P^{2} + Q_{L}^{2} .

Obr. 30. [Příklad č. 26] Sériové zapojení obvodu RC – příklad

Příklad

[Příklad č. 26] V obvodu sériového zapojení rezistoru R = 220 Ω a kondenzátoru C = 50 µF vypočítejte celkovou impedanci obvodu

\bar{Z}

. Obvodem protéká proud

\bar{I} = 0,2 A

, frekvence harmonického proudu f = 50 Hz. V obvodu stanovte fázor napětí na kondenzátoru

\bar{U_{C}}

, napětí na rezistoru

\bar{U_{R}}

a celkového napětí

\bar{U_{1}}

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Celková impedance

\bar{Z}

\bar{Z} = \bar{Z_{R}} + \bar{Z_{C}} = R + \frac{1}{j ω \cdot C} = 220 + \frac{1}{j 2 \cdot π \cdot f \cdot C} = 220 + \frac{1}{j 2 \cdot 3,1416 \cdot 50 \cdot 50 \cdot 100^{- 6}}

\bar{Z} = 220 + \frac{1}{j 0,015708} = 220 - j \frac{1}{0,015708} = (220 - j 63,66) Ω .

Napětí na rezistoru:

\bar{U_{R}} = \bar{Z_{R}} \cdot \bar{I} = 220 \cdot 0,2 = 44 V m ů ž e m e z a p s a t \bar{U_{R}} = (44 + j 0) V .

Napětí na kondenzátoru:

\bar{U_{C}} = \bar{Z_{C}} \cdot \bar{I} = \frac{1}{j ω \cdot C} \cdot 0,2 = - j \frac{1}{0,015708} \cdot 0,2 = - j 12,67 V

m ů ž e m e z a p s a t \bar{U_{C}} = (0 - j 12,67) V

Celkové napětí:

\bar{U_{1}} = \bar{U_{R}} + \bar{U_{C}} = (44 + j 0) + (0 - j 12,67) = (44 - j 12,67) V

Absolutní velikost napětí:

\bar{U_{R}} = (44 + j 0) V

|U_{R}| = \sqrt{44^{2} + 0^{2}} = \sqrt{44^{2}} = 44 V

\bar{U_{C}} = (0 - j 12,67) V

|\bar{U_{C}}| = \sqrt{0^{2} + {12,67}^{2}} = \sqrt{{12,67}^{2}} = 12,67 V

\bar{U_{1}} = (44 - j 12,67) V

|\bar{U_{1}}| = \sqrt{44^{2} + {12,67}^{2}} = \sqrt{1936 + 160,53} = \sqrt{2092,53} = 45,78 V

Obr. 31. [Příklad č. 27] Sériové zapojení obvodu RC – příklad

Příklad

[Příklad č. 27] Vypočítejte impedanci sériového zapojení R = 560 Ω a kondenzátoru C = 5 µF. Výpočet proveďte pro frekvence f₁= 50 Hz, f₂= 100 Hz, f₃= 200 Hz a f₄= 1 000 Hz. Výsledky impedance obvodu vyjádřete ve složkovém a exponenciálním tvaru.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Výsledky:

[\bar{Z_{50}} = (560 - j 637) Ω; \bar{Z_{50}} = 848 \cdot e^{- j 48,6 ⁰} Ω]

[\bar{Z_{100}} = (560 - j 318) Ω; \bar{Z_{100}} = 644 \cdot e^{- j 29,6 ⁰} Ω] [\bar{Z_{200}} = (560 - j 159) Ω; \bar{Z_{200}} = 582 \cdot e^{- j 15,9 ⁰} Ω] [\bar{Z_{1000}} = (560 - j 32) Ω; \bar{Z_{1000}} = 561 \cdot e^{- j 3,3 ⁰} Ω]