Elektrotechnika IV

4.4

Filtry typu horní propust

Filtr typu dolní propust můžeme realizovat pomocí rezistoru a kondenzátoru nebo cívky a rezistoru.

4.4.1

Filtr typu horní propust realizovaný rezistorem a kondenzátorem

Obr. 42. Zapojení filtru RC (horní propust)

Přenosovou funkci odvodíme:

\bar{A_{U}} = \frac{\bar{Z_{2}}}{\bar{Z_{1}} + \bar{Z_{2}}} \bar{Z_{2}} j e i m p e d a n c e r e z i s t o r u R, \bar{Z_{1}} j e i m p e d a n c e k o n d e n z á t o r u C

\bar{A_{U}} = \frac{R}{\frac{1}{j ω \cdot C} + R} = \frac{R}{\frac{1 + j ω \cdot R \cdot C}{j ω \cdot C}} = \frac{j ω \cdot R \cdot C}{1 + j ω \cdot R \cdot C} v y n á s o b í m e k o m p l e x n ě s d r u ž e n ý m č í s l e m

\bar{A_{U}} = \frac{j ω \cdot R \cdot C}{1 + j ω \cdot R \cdot C} \cdot \frac{1 - j ω \cdot R \cdot C}{1 - j ω \cdot R \cdot C} = \frac{j ω \cdot R \cdot C \cdot (1 - j ω \cdot R \cdot C)}{1 - j ω \cdot R \cdot C + j ω \cdot R \cdot C - j^{2} ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}

Upravíme výraz s imaginární jednotkou v čitateli i jmenovateli

j^{2} = - 1

, a dostaneme:

\bar{A_{U}} = \frac{j ω \cdot R \cdot C - j^{2} ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}

\bar{A_{U}} = \frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2} + j ω \cdot R \cdot C}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}} v ý r a z r o z d ě l í m e n a r e á l n o u a i m a g i n á r n í č á s t

\bar{A_{U}} = r e á l n á + j \cdot i m a g i n á r n í = \frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}} + j \frac{ω \cdot R \cdot C}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}

V e l i k o s t p ř e n o s u (m o d u l p ř e n o s u) |\bar{A_{U}}| v y j á d ř í m e :

|\bar{A_{U}}| = f (f) = \sqrt{{(\frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}})}^{2} + {(\frac{ω \cdot R \cdot C}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}})}^{2}}

|\bar{A_{U}}| = \sqrt{\frac{{(ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2})}^{2}}{{(1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2})}^{2}} + \frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}{{(1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2})}^{2}} =} \sqrt{\frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2} (1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2})}{{(1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2})}^{2}}}

|\bar{A_{U}}| = \sqrt{\frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}} = \frac{ω \cdot R \cdot C}{\sqrt{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}}

Pro fázový posun odvodíme:

φ_{U} = a r c t g \frac{i m a g i n á r n í č á s t \bar{A_{U}}}{r e á l n á č á s t \bar{A_{U}}} = a r c t g \frac{\frac{ω \cdot R \cdot C}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}}{\frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}} = a r c t g \frac{1}{ω \cdot R \cdot C}

φ_{U} = a r c t g (\frac{1}{ω \cdot R \cdot C}) .

Obr. 43. [Příklad č. 34] Zapojení filtru RC (horní propust) – frekvenční přenosová charakteristika

Příklad

[Příklad č. 34] Nakreslete frekvenční přenosovou charakteristiku filtru typu horní propust s rezistorem a kondenzátorem.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Jednotlivé body charakteristiky

|A_{U}| = f (f)

získáme dosazením do vztahu:

|\bar{A_{U}}| = \sqrt{\frac{ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}} = \frac{ω \cdot R \cdot C}{\sqrt{1 + ω^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}}, v ý r a z ω j e d e f i n o v a n ý : ω = 2 \cdot π \cdot f

Pro

ω = 0

získáme hodnotu

|A_{U}|

|\bar{A_{U}}| = \frac{0 \cdot R \cdot C}{\sqrt{1 + 0^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}} = \frac{0}{\sqrt{1}} = 0

Pro

ω = \infty

získáme hodnotu

|A_{U}|

|\bar{A_{U}}| = \frac{\infty \cdot R \cdot C}{\sqrt{1 + \infty \cdot R^{2} \cdot C^{2}}} = \frac{\infty}{\sqrt{1 + \infty^{2}}} = \frac{\infty}{\infty} = 1

a_{U} = 20 \cdot l o g |\bar{A_{U}}| = 20 \cdot \log 1 = 20 \cdot 0 = 0 d B .

Pro

ω = \frac{1}{R C}

získáme hodnotu

|A_{U}|

|\bar{A_{U}}| = \frac{\frac{1}{R \cdot C} \cdot R \cdot C}{\sqrt{1 + {(\frac{1}{R \cdot C})}^{2} \cdot R^{2} \cdot C^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0,707

a_{U} = 20 \cdot l o g |\bar{A_{U}}| = 20 \cdot \log 0,707 = - 3 d B

Obr. 44. [Příklad č. 35] Filtr RC (horní propust) – fázová frekvenční charakteristika

Příklad

[Příklad č. 35] Nakreslete fázovou frekvenční charakteristiku filtru typu horní propust s rezistorem R a kondenzátorem C.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Jednotlivé body charakteristiky

φ_{U} = f (f)

získáme dosazením do vztahu:

φ_{U} = a r c t g (\frac{1}{ω \cdot R \cdot C})

Pro

ω = 0

získáme hodnotu

φ_{U} :

φ_{U} = a r c t g (\frac{1}{ω \cdot R \cdot C}) = a r c t g (\frac{1}{0 \cdot R \cdot C}) = + 90 ° .

Pro

ω = \infty

získáme hodnotu

φ_{U} :

φ_{U} = a r c t g (\frac{1}{ω \cdot R \cdot C}) = a r c t g (\frac{1}{\infty \cdot R \cdot C}) = + 0 ° .

Pro

ω = \frac{1}{R C}

získáme hodnotu

φ_{U} :

φ_{U} = a r c t g (\frac{1}{ω \cdot R \cdot C}) = a r c t g (\frac{1}{\frac{1}{R C} \cdot R \cdot C}) = a r c t g (1) = + 45 ° .

4.4.2

Filtr typu horní propust realizovaný rezistorem a cívkou

Obr. 45. Zapojení filtru RL (horní propust)

Přenosovou funkci odvodíme:

\bar{A_{U}} = \frac{\bar{Z_{2}}}{\bar{Z_{1}} + \bar{Z_{2}}} \bar{Z_{2}} j e i m p e d a n c e c í v k y L, \bar{Z_{1}} j e i m p e d a n c e r e z i s t o r u R

\bar{A_{U}} = \frac{j ω \cdot L}{R + j ω \cdot L} v y n á s o b í m e k o m p l e x n ě s d r u ž e n ý m č í s l e m

\bar{A_{U}} = \frac{j ω \cdot L}{R + j ω \cdot L} \cdot \frac{R - j ω \cdot L}{R - j ω \cdot L} = \frac{j ω \cdot L \cdot R - j^{2} ω^{2} \cdot L^{2}}{R^{2} - j ω \cdot L \cdot R + j ω \cdot L \cdot R - j^{2} \cdot ω^{2} \cdot L^{2}}

Upravíme výraz s imaginární jednotkou v čitateli i jmenovateli

j^{2} = - 1

a dostaneme:

\bar{A_{U}} = \frac{ω^{2} \cdot L^{2} + j ω \cdot L \cdot R}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}} v ý r a z r o z d ě l í m e n a r e á l n o u a i m a g i n á r n í č á s t

\bar{A_{U}} = r e á l n á + j \cdot i m a g i n á r n í = \frac{ω^{2} \cdot L^{2}}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}} + j \frac{ω \cdot L \cdot R}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}}

V e l i k o s t p ř e n o s u (m o d u l p ř e n o s u) |\bar{A_{U}}| v y j á d ř í m e :

|\bar{A_{U}}| = f (f) = \sqrt{{(\frac{ω^{2} \cdot L^{2}}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}})}^{2} + {(\frac{ω \cdot L \cdot R}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}})}^{2}}

|\bar{A_{U}}| = \sqrt{\frac{{(ω^{2} \cdot L^{2})}^{2} + {(ω \cdot L \cdot R)}^{2}}{{(R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2})}^{2}}} = \sqrt{\frac{ω^{4} \cdot L^{4} + ω^{2} \cdot L^{2} \cdot R^{2}}{{(R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2})}^{2}}} = \sqrt{\frac{ω^{2} \cdot L^{2} \cdot (R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2})}{{(R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2})}^{2}}} = \sqrt{\frac{ω^{2} \cdot L^{2}}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}}}

|\bar{A_{U}}| = \frac{ω \cdot L}{\sqrt{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}}}

Pro fázový posun odvodíme:

φ_{U} = a r c t g \frac{i m a g i n á r n í č á s t \bar{A_{U}}}{r e á l n á č á s t \bar{A_{U}}} = a r c t g \frac{\frac{ω \cdot L \cdot R}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}}}{\frac{ω^{2} \cdot L^{2}}{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}}} = a r c t g \frac{R}{ω \cdot L}

φ_{U} = a r c t g (\frac{R}{ω \cdot L}) .

Obr. 46. [Příklad č. 36] Zapojení filtru RL (horní propust) – frekvenční přenosová charakteristika

Příklad

[Příklad č. 36] Nakreslete frekvenční přenosovou charakteristiku filtru typu horní propust s rezistorem a kondenzátorem.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Jednotlivé body charakteristiky

|A_{U}| = f (f)

získáme dosazením do vztahu:

|\bar{A_{U}}| = \frac{ω \cdot L}{\sqrt{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}}} v ý r a z ω j e d e f i n o v a n ý : ω = 2 \cdot π \cdot f

Pro

ω = 0

získáme hodnotu

|A_{U}|

|\bar{A_{U}}| = \frac{ω \cdot L}{\sqrt{R^{2} + ω^{2} \cdot L^{2}}} = \frac{0 \cdot L}{\sqrt{R^{2} + 0^{2} \cdot L^{2}}} = 0

Pro

ω = \infty

získáme hodnotu

|A_{U}|

|\bar{A_{U}}| = \frac{\infty \cdot L}{\sqrt{R^{2} + \infty^{2} \cdot L^{2}}} = \frac{0 \cdot L}{\sqrt{R^{2} + 0^{2} \cdot L^{2}}} = 1

a_{U} = 20 \cdot l o g |\bar{A_{U}}| = 20 \cdot \log 1 = 20 \cdot 0 = 0 d B

Pro

ω = \frac{R}{L}

získáme hodnotu

|A_{U}|

|\bar{A_{U}}| = \frac{\frac{R}{L} \cdot L}{\sqrt{R^{2} + {\frac{R}{L^{2}}}^{2} \cdot L^{2}}} = \frac{R}{\sqrt{R^{2} + R^{2}}} = \frac{R}{R \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0,707

a_{U} = 20 \cdot l o g |\bar{A_{U}}| = 20 \cdot \log 0,707 = - 3 d B

Obr. 47. [Příklad č. 37] Filtr RL (horní propust) – fázová frekvenční charakteristika

Příklad

[Příklad č. 37] Nakreslete fázovou frekvenční charakteristiku filtru typu horní propust s rezistorem R a cívkou L.

Zobrazit řešení

Skrýt řešení

Řešení

Jednotlivé body charakteristiky

φ_{U} = f (f)

získáme dosazením do vztahu:

φ_{U} = a r c t g (\frac{R}{ω \cdot L}) .

Pro

ω = 0

získáme hodnotu

φ_{U} :

φ_{U} = a r c t g (\frac{R}{ω \cdot L}) = a r c t g (\frac{R}{0 \cdot L}) = + 90 ° .

Pro

ω = \infty

získáme hodnotu

φ_{U} :

φ_{U} = a r c t g (\frac{R}{ω \cdot L}) = a r c t g (\frac{R}{\infty \cdot L}) = + 0 ° .

Pro

ω = \frac{R}{L}

získáme hodnotu

φ_{U} :

φ_{U} = a r c t g (\frac{R}{\frac{R}{L} \cdot L}) = a r c t g (1) = + 45 ° .